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| ====== Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.1 ====== | ====== Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.1 ====== | ||
| + | === Aula 32 - quarta 11/7=== | ||
| + | Hoje discutimos os problemas das listas 6 e 7, como revisão para a prova, que será na próxima sexta 13/7. Bom estudo para todos!\\ | ||
| + | A vista de prova deve ser na segunda-feira 16/3 a partir das 14h, na minha sala. Assim que eu tiver as notas da P2 vou publicar [[:notas|aqui]]. | ||
| + | === Aula 31 - sexta 6/7=== | ||
| + | * Começamos com duas aplicações de teoria de perturbações independentes do tempo para o caso não-degenerado: efeito Stark quadrático e uma perturbação delta no meio do poço quadrado infinito. | ||
| + | * Descrevemos a teoria de perturbações para o caso degenerado, encontrando as correções de energia até segunda ordem. Resolvemos a quebra de degenerescência causada pelo efeito Stark dinâmico no nível n=2 do átomo de Hidrogênio, usando teoria de perturbações até primeira ordem. Depois vimos uma Hamiltoniana simples de um sistema de 3 níveis e calculamos correções devido a uma perturbação, até 2a ordem em teoria de perturbações. | ||
| + | Na próxima aula veremos problemas das listas e outras aplicações de teoria de perturbações, e na aula seguinte teremos nossa prova final. Vocês tem uma lista de sugestões de problemas de teoria de perturbações, vejam a página de [[:listas|listas de exercícios.]]\\ | ||
| + | O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 6, páginas 6 a 14]]. | ||
| + | === Aula 30 - quarta 4/7 === | ||
| + | Simetrias: | ||
| + | * Teorema: se H é invariante por inversão temporal e tem auto-estado não-degenerado, esse autoestado pode ser escolhido como real (com escolha de fase global). | ||
| + | * Inversão temporal para spins 1/2: vimos que <latex>\Theta^2=-1</latex> para spins 1/2. Isso resulta no teorema de Kramer: um sistema invariante por reversão temporal e com N spins 1/2, onde N é ímpar, só pode ter autoestados degenerados de energia. | ||
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| + | Teoria de perturbação independente do tempo. | ||
| + | * Definição do problema e da abordagem: queremos obter aproximações para autovalores e autovetores de <latex>H=H_0+\lambda H_1</latex>, onde <latex>H_0</latex> é a Hamiltoniana não-perturbada que sabemos resolver, <latex>H_1</latex> é uma Hamiltoniana arbitrária com elementos de matriz da mesma ordem de grandeza que os de <latex>H_0</latex>, e <latex>\lambda \ll 1</latex> é o parâmetro perturbativo. Procuramos aproximações sucessivas, que serão corretas até certa potência de <latex>\lambda</latex>. | ||
| + | * Encontramos os autovetores perturbados em termos da Hamiltoniana não-perturbada (até <latex>O(\lambda)</latex>), e as energias até <latex>O(\lambda^2)</latex>. | ||
| + | Na próxima aula veremos aplicações. | ||
| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 5, páginas 18 a 20, e cap. 6, páginas 1 a 5]]. | ||
| + | === Aula 29 - sexta 29/6=== | ||
| + | Simetria de paridade (continuação): | ||
| + | * A simetria de paridade de uma Hamiltoniana implica em uma regra de seleção - o operador x não conecta estados de paridade diferente. O mesmo é verdade para qualquer operador ímpar sob paridade. Entre outras coisas, isso significa que estados não-degenerados de Hamiltonianas com simetria de paridade não podem ter momento de dipolo permanente. | ||
| + | Simetria de inversão temporal: | ||
| + | * Definição de inversão temporal (ou melhor, inversão do movimento) na física clássica como guia para a MQ. | ||
| + | * Vimos que se <latex>\psi(\vec{x},t)</latex> é solução da equação de Schrodinger, então <latex>\psi^*(\vec{x},-t)</latex> também é. Isso indica que o operador de reversão temporal deve ter a ver com a conjugação, logo mais veremos isso. | ||
| + | * Antes de discutir o operador de reversão temporal, precisamos estudar um pouco operadores anti-unitários. O teorema de Wigner diz que os únicos operadores que preservam o módulo dos produtos internos em MQ são os operadores unitários e anti-unitários, mas ainda não tínhamos encontrados estes últimos. Vimos que operadores anti-unitários podem ser escritos como <latex>\Theta=UK</latex>, onde U é operador unitário e K é o operador de conjugação. Vimos também que a ação do operador de conjugação (e logo, de qualquer op. anti-unitário) depende da base que escolhemos. | ||
| + | * Voltando ao operador de reversão temporal <latex>\Theta</latex>, para ele funcionar como esperamos vimos que <latex>H\Theta = \Theta H</latex>. Vimos algumas consequências absurdas inevitáveis se o operador de reversão temporal fosse unitário. | ||
| + | * Em seguida analisamos a paridade sob reversão temporal de alguns operadores: <latex>\vec{p}, \vec{x}, \vec{J}</latex>. Depois nos voltamos para a questão de como o operador <latex>\Theta</latex> opera sobre a função de onda de uma partícula de spin 0, expandida na base x, p e na base de harmônicos esféricos. | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 5, páginas 10 a 17]]. | ||
| + | === Aulas 26, 27, 28 - 20,22 e 27/6=== | ||
| + | * Mais propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan: podem ser escolhidos como reais. | ||
| + | * Coeficientes de Clebsch-Gordan: como usar uma tabela. | ||
| + | * O que são operadores escalares e operadores vetoriais, em termos das suas propriedades sob rotações. | ||
| + | * Teorema de Wigner-Eckart para operadores vetoriais, e como ele garante que vários elementos de matriz são zero, além de mostrar a proporcionalidade dos outros elementos com o operador de momento angular. | ||
| + | * Voltamos ao estudo de simetrias em mecânica quântica, com destaque para simetrias discretas. Para os operadores de simetria unitários que temos estudado, vimos que caso a Hamiltoniana tenha uma simetria (comute com U), então o gerador do U será uma quantidade conservada. | ||
| + | * Se H tem uma simetria, então podemos operar com essa simetria em auto-estados de energia para obter outros auto-estados de mesma energia - um exemplo é a degenerescência dos harmônicos esféricos, devido à simetria por rotações. Se a simetria for quebrada, quebramos também a degenerescência, como acontece com os Hamiltonianos do efeito Zeeman e efeito Stark para o átomo de Hidrogênio. | ||
| + | * Começamos a estudar simetrias discretas com o operador de simetria de paridade, que inverte a posição. Vimos que o momento p também é invertido, bem como o momento angular, tanto orbital como de spin. | ||
| + | * Funções de onda podem (ou não) ser autofunções do operador de paridade. Se forem, tem paridade bem-definida, sendo pares ou ímpares, no sentido familiar que aparece no cálculo, por exemplo. | ||
| + | * Um teorema: Se a Hamiltoniana comuta com o operador de paridade e tem um auto-estado não-degenerado de energia, esse auto-estado será auto-estado também de paridade. Vimos exemplos como os auto-estados do oscilador harmônico, e contra-exemplos (para o caso degenerado), como superposições de diferentes auto-estados com mesma energia do átomo de hidrogênio. | ||
| + | * Discutimos o papel da simetria de paridade no caso do poço duplo quântico, cuja Hamiltoniana tem essa simetria. O estado fundamental é par, e o 1o estado excitado é ímpar. Criamos dois estados não-estacionários como superposições desses dois estados, um concentrado no poço da esquerda e um no da direita. Quando levantamos a barreira no meio do poço até o infinito recuperamos a degenerescência, e os dois estados (fundamental e 1o excitado) do poço finito passam a ter a mesma energia. Se criamos um dos estados concentrados em um lado, ele passa a ser estável no tempo, efetivamente quebrando a simetria da Hamiltoniana. Essa quebra de simetria acontece por causa da degenerescência (do estado fundamental, neste caso), e acontece com muitos outros sistemas físicos, como um íma que poderia ter sua magnetização apontando em qualquer direção (ou numa superposição de direções), mas cuja simetria é quebrada, surgindo uma magnetização em uma dada direção. | ||
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| + | As notas de aula correspondentes vão da [[:notasdeaula|página 28 a 38 do cap. 4, e páginas 1 a 9 do capítulo 5 (Simetrias)]]. | ||
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| + | === Aula 25 - sexta 15/6 === | ||
| + | Adição de momento angular. | ||
| + | * 2 exemplos simples: partícula com momento angular orbital e spin 1/2; dois spins 1/2. Vimos que temos 2 escolhas interessantes de base para descrever os sistemas, uma consistindo de produto das bases que já usamos para cada subsistema (baseado em auto-estados de <latex>J_{1z}, J_{2z}, J_1^2</latex> e <latex>J_2^{2}</latex>) e outra em que os operadores que definem a base de auto-estados são <latex>J^2</latex> e <latex>J_z</latex>, operadores do momento angular total. | ||
| + | * A teoria formal da adição do momento angular tem como objetivo calcular as probabilidades de obtermos qualquer resultado de medida desses operadores todos, dado um estado inicial qualquer. Descrevemos o operador de rotação infinitesimal para os dois subsistemas, vendo que aparece o operador de momento angular total como gerador. | ||
| + | * Vimos o que são os coeficientes de Clebsch-Gordan: são amplitudes de probabilidade associadas ao resultado de medidas na base global, dado uma preparação na base local (e vice-versa). | ||
| + | * Discutimos algumas propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan: os valores possíveis de j e m; na próxima aula veremos mais propriedades. | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 4, páginas 22 a 27]]. | ||
| + | === Aula 24 - quarta 13/6 === | ||
| + | Ainda momento angular. | ||
| + | * Como calcular J_y para spin 1, e com isso calcular o operador de rotação mais geral. | ||
| + | * Momento angular orbital. Mostramos que satisfaz as relações de comutação do momento angular; em seguida que o operador de rotação (gerado por L_z) roda mesmo a função de onda. Com isso encontramos a forma do operador L_z em coordenadas esféricas. Um argumento similar pode ser usado para encontrar os operadores L_x, L_y e L^2 em coordenadas esféricas. | ||
| + | * Harmônicos esféricos: são a parte angular da função de onda, no caso de potencial com simetria esférica. São um conjunto completo para expansão da dependência angular de qualquer função no espaço 3D. Encontramos 3 equações que valem para os harmônicos esféricos, usando as equações de autovalores para L^2, L_z e a equação de ortonormalidade dos autovetores. Essas equações podem ser usadas para encontrar explicitamente os Y_l^m. Uma forma prática é começar pelo Y_l^l e ir "descendo a escada", usando o operador L_-. | ||
| + | * Vimos que certos elementos de matriz do operador rotação podem ser escritos em termos de harmônicos esféricos. | ||
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| + | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 15 a 21]]. OBS: a [[:listas|lista 5 já está disponível aqui, reparem que havia um errinho na eq. (8), que já foi corrigido]]. | ||
| + | === Aula 23 - quarta 6/6 === | ||
| + | Continuando o estudo do momento angular. | ||
| + | * Encontramos os auto-valores de J^2 e J_z. Há um passo da derivação que o Sakurai trata de maneira pouco rigorosa, para uma derivação rigorosa vejam a seção C do cap. 6 do Cohen-Tannoudji. | ||
| + | * Calculamos os elementos de matriz de J^2, J_z, J_+ e J_-, sempre na base |j,m>. | ||
| + | * Discutimos as representações dos operadores de rotação em MQ. Na base |j,m> a matriz de rotação é irredutível, significando que tem a forma mais simples possível, não podendo ser reescrita em formato diagonal por blocos menores em qualquer outra base. Vimos que as matrizes de rotação são unitárias, e que seus elementos de matriz têm um significado físico simples: começando com estado |j,m>, os elementos de matriz nos dão as amplitudes de probabilidade de, após a rotação, obtermos os diferentes valores |j,m'>. | ||
| + | * Usando a representação geral de uma rotação como combinação de rotações sucessivas no eixo z, y e z novamente (conhecida como representação dos ângulos de Euler), vimos que para calcular os elementos de matriz de uma rotação geral em qualquer sistema físico, é suficiente saber calcular os elementos de matriz de rotações em torno do eixo y. (Isso é consequência de estarmos trabalhando com a base |j m>.) Fizemos isso para o caso de um spin 1/2, na próxima aula veremos o caso de um spin 1. | ||
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| + | O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas do cap. 4, páginas 8 a 14]]. | ||
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| === Aula 22 - sexta 1/6=== | === Aula 22 - sexta 1/6=== | ||
| Hoje começamos a estudar o momento angular em MQ. | Hoje começamos a estudar o momento angular em MQ. | ||
| Linha 18: | Linha 86: | ||
| O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|páginas 34 a 41 do cap. 3 das notas de aula]]. | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|páginas 34 a 41 do cap. 3 das notas de aula]]. | ||
| - | === Aula 20 - sexta 26/5 === | + | === Aula 20 - sexta 25/5 === |
| Potenciais e transformações de calibre. | Potenciais e transformações de calibre. | ||
| * Se adicionamos uma constante V_0 ao potencial, o estado ganha uma nova fase, mas essa fase é uma fase global que não muda os valores esperados dos observáveis. | * Se adicionamos uma constante V_0 ao potencial, o estado ganha uma nova fase, mas essa fase é uma fase global que não muda os valores esperados dos observáveis. | ||
| Linha 28: | Linha 96: | ||
| O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 3, páginas 29 a 34]]. | O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 3, páginas 29 a 34]]. | ||
| - | === Aula 19 - quarta 24/5 === | + | === Aula 19 - quarta 23/5 === |
| Estados coerentes do oscilador harmônico. | Estados coerentes do oscilador harmônico. | ||
| * São estados cuja evolução temporal para os valores esperados de x, p seguem as trajetórias do oscilador harmônico clássico. | * São estados cuja evolução temporal para os valores esperados de x, p seguem as trajetórias do oscilador harmônico clássico. | ||
